L'analyse discriminante lin\u00e9aire (LDA) est une m\u00e9thode statistique utilis\u00e9e dans l'apprentissage automatique et la reconnaissance de formes pour trouver une combinaison lin\u00e9aire de caract\u00e9ristiques qui s\u00e9pare au mieux deux classes ou plus. Il vise \u00e0 projeter les donn\u00e9es sur un espace de dimension inf\u00e9rieure tout en pr\u00e9servant les informations discriminatoires de classe. LDA s'est av\u00e9r\u00e9 \u00eatre un outil puissant dans diverses applications, notamment la reconnaissance faciale, la bioinformatique et la classification de documents.<\/p>\n
Les origines de l'analyse discriminante lin\u00e9aire remontent au d\u00e9but des ann\u00e9es 1930, lorsque Ronald A. Fisher a introduit pour la premi\u00e8re fois le concept de discriminant lin\u00e9aire de Fisher. Le travail original de Fisher a jet\u00e9 les bases de la LDA, et elle est devenue largement reconnue comme une m\u00e9thode fondamentale dans le domaine des statistiques et de la classification des mod\u00e8les.<\/p>\n
L'analyse discriminante lin\u00e9aire est une technique de r\u00e9duction de dimensionnalit\u00e9 supervis\u00e9e. Cela fonctionne en maximisant le rapport entre la matrice de dispersion entre les classes et la matrice de dispersion au sein de la classe. La dispersion entre classes repr\u00e9sente la variance entre les diff\u00e9rentes classes, tandis que la dispersion au sein de la classe repr\u00e9sente la variance au sein de chaque classe. En maximisant ce rapport, LDA garantit que les points de donn\u00e9es des diff\u00e9rentes classes sont bien s\u00e9par\u00e9s, conduisant \u00e0 une s\u00e9paration de classes efficace.<\/p>\n
LDA suppose que les donn\u00e9es suivent une distribution gaussienne et que les matrices de covariance des classes sont \u00e9gales. Il projette les donn\u00e9es dans un espace de dimension inf\u00e9rieure tout en maximisant la s\u00e9parabilit\u00e9 des classes. Les discriminants lin\u00e9aires r\u00e9sultants sont ensuite utilis\u00e9s pour classer les nouveaux points de donn\u00e9es dans les classes appropri\u00e9es.<\/p>\n
La structure interne de l'analyse discriminante lin\u00e9aire implique les \u00e9tapes suivantes\u00a0:<\/p>\n
Calculer les moyennes de classe<\/strong>: Calculez les vecteurs moyens de chaque classe dans l\u2019espace des fonctionnalit\u00e9s d\u2019origine.<\/p>\n<\/li>\n Calculer des matrices de dispersion<\/strong>: Calculez la matrice de dispersion au sein de la classe et la matrice de dispersion entre les classes.<\/p>\n<\/li>\n D\u00e9composition des valeurs propres<\/strong>: Effectuez une d\u00e9composition des valeurs propres sur le produit de l'inverse de la matrice de dispersion intra-classe et de la matrice de dispersion inter-classes.<\/p>\n<\/li>\n S\u00e9lectionnez les discriminants<\/strong>: S\u00e9lectionnez les k vecteurs propres sup\u00e9rieurs correspondant aux plus grandes valeurs propres pour former les discriminants lin\u00e9aires.<\/p>\n<\/li>\n Donn\u00e9es du projet<\/strong>: Projetez les points de donn\u00e9es sur le nouveau sous-espace couvert par les discriminants lin\u00e9aires.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n L'analyse discriminante lin\u00e9aire offre plusieurs fonctionnalit\u00e9s cl\u00e9s qui en font un choix populaire dans les t\u00e2ches de classification\u00a0:<\/p>\n M\u00e9thode supervis\u00e9e<\/strong>: LDA est une technique d'apprentissage supervis\u00e9, ce qui signifie qu'elle n\u00e9cessite des donn\u00e9es \u00e9tiquet\u00e9es lors de l'entra\u00eenement.<\/p>\n<\/li>\n R\u00e9duction de dimensionnalit\u00e9<\/strong>: LDA r\u00e9duit la dimensionnalit\u00e9 des donn\u00e9es, ce qui les rend efficaces sur le plan informatique pour les grands ensembles de donn\u00e9es.<\/p>\n<\/li>\n S\u00e9paration optimale<\/strong>: Il vise \u00e0 trouver la combinaison lin\u00e9aire optimale de fonctionnalit\u00e9s qui maximise la s\u00e9parabilit\u00e9 des classes.<\/p>\n<\/li>\n Classification<\/strong>: LDA peut \u00eatre utilis\u00e9 pour des t\u00e2ches de classification en attribuant de nouveaux points de donn\u00e9es \u00e0 la classe avec la moyenne la plus proche dans l'espace de dimension inf\u00e9rieure.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n Il existe diff\u00e9rentes variantes de l'analyse discriminante lin\u00e9aire, notamment\u00a0:<\/p>\n LDA de Fisher<\/strong>: La formulation originale propos\u00e9e par RA Fisher, qui suppose que les matrices de covariance de classe sont \u00e9gales.<\/p>\n<\/li>\n LDA r\u00e9gularis\u00e9e<\/strong>: Une extension qui r\u00e9sout les probl\u00e8mes de singularit\u00e9 dans les matrices de covariance en ajoutant des termes de r\u00e9gularisation.<\/p>\n<\/li>\n Analyse discriminante quadratique (QDA)<\/strong>: Une variation qui assouplit l'hypoth\u00e8se de matrices de covariance de classe \u00e9gale et permet des limites de d\u00e9cision quadratiques.<\/p>\n<\/li>\n Analyse Discriminante Multiple (MDA)<\/strong>: Une extension de LDA qui prend en compte plusieurs variables d\u00e9pendantes.<\/p>\n<\/li>\n Analyse discriminante flexible (FDA)<\/strong>: Une extension non lin\u00e9aire de LDA qui utilise les m\u00e9thodes du noyau pour la classification.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n Voici un tableau comparatif de ces types\u00a0:<\/p>\nAnalyse des principales caract\u00e9ristiques de l'analyse discriminante lin\u00e9aire<\/h2>\n
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Types d'analyse discriminante lin\u00e9aire<\/h2>\n
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