Un corps fini, ou champ de Galois, fait partie int\u00e9grante de l'alg\u00e8bre abstraite qui joue un r\u00f4le central dans de nombreux contextes math\u00e9matiques et informatiques. Il s'agit d'un domaine comportant un nombre fini d'\u00e9l\u00e9ments et qui trouve des applications importantes en cryptographie, en th\u00e9orie du codage, en informatique et dans de nombreux autres domaines.<\/p>\n
Les champs finis ont \u00e9t\u00e9 d\u00e9crits pour la premi\u00e8re fois dans le contexte d\u2019une tentative de r\u00e9solution d\u2019\u00e9quations polynomiales, une qu\u00eate remontant \u00e0 l\u2019Antiquit\u00e9. Cependant, la premi\u00e8re formalisation du concept n\u2019a eu lieu qu\u2019au XIXe si\u00e8cle. \u00c9variste Galois, math\u00e9maticien fran\u00e7ais, a apport\u00e9 des contributions significatives au d\u00e9veloppement des champs finis, et ils sont souvent appel\u00e9s \u00ab champs de Galois \u00bb en son honneur.<\/p>\n
Les travaux de Galois ont jet\u00e9 les bases de la th\u00e9orie moderne des groupes et de la th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des champs finis. L'\u00e9tude syst\u00e9matique des champs finis a encore progress\u00e9 au XXe si\u00e8cle, avec des contributions significatives de math\u00e9maticiens tels que Richard Dedekind et Emmy Noether.<\/p>\n
Un corps fini est, par essence, un ensemble de nombres sur lequel toutes les op\u00e9rations de base (addition, soustraction, multiplication et division, \u00e0 l'exclusion de la division par z\u00e9ro) sont d\u00e9finies et poss\u00e8dent les propri\u00e9t\u00e9s que vous attendez des nombres rationnels, r\u00e9els ou complexes. .<\/p>\n
Les champs finis ont deux attributs importants : l'ordre et la caract\u00e9ristique. L'ordre fait r\u00e9f\u00e9rence au nombre total d'\u00e9l\u00e9ments dans le champ, tandis que la caract\u00e9ristique est une propri\u00e9t\u00e9 qui dicte les op\u00e9rations arithm\u00e9tiques du champ. Notamment, l\u2019ordre d\u2019un corps fini est toujours un nombre premier ou une puissance d\u2019un nombre premier.<\/p>\n
Dans la structure interne d'un champ fini, chaque \u00e9l\u00e9ment peut \u00eatre ajout\u00e9, soustrait, multipli\u00e9 ou divis\u00e9 par un autre \u00e9l\u00e9ment (non nul), ce qui donne lieu \u00e0 un troisi\u00e8me \u00e9l\u00e9ment qui se trouve \u00e9galement dans le champ. Cette propri\u00e9t\u00e9 est appel\u00e9e \u00ab fermeture \u00bb et elle est essentielle au fonctionnement des champs finis.<\/p>\n
De plus, les champs finis adh\u00e8rent aux propri\u00e9t\u00e9s d'associativit\u00e9, de commutativit\u00e9, de distributivit\u00e9, d'existence d'\u00e9l\u00e9ments d'identit\u00e9 et d'existence d'inverses. Essentiellement, les champs finis se comportent \u00ab bien \u00bb math\u00e9matiquement, ce qui les rend tr\u00e8s utiles dans diverses applications.<\/p>\n
Certaines des principales caract\u00e9ristiques des champs finis incluent\u00a0:<\/p>\n
Les champs finis sont class\u00e9s en fonction de leur ordre, et nous d\u00e9signons g\u00e9n\u00e9ralement un champ fini d'ordre q par GF(q). Par exemple, un corps fini \u00e0 deux \u00e9l\u00e9ments est not\u00e9 GF(2), et \u00e0 trois \u00e9l\u00e9ments, GF(3), et ainsi de suite.<\/p>\n
L'ordre des champs finis doit \u00eatre une puissance d'un nombre premier, donc les types de champs finis sont GF(p), GF(p^2), GF(p^3), GF(p^4), etc., o\u00f9 p est un nombre premier.<\/p>\n